自然数e,自然常数

教育快讯 2019-10-14140未知admin

  声明:百科词条人人可编辑,词条创建和修改均免费,绝不存在官方及代理商付费代编,请勿上当受骗。详情

  自然常数,为数学中一个常数,是一个无限不循环小数,且为超越数,其值约为2.71828。

  e,作为数学常数,是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数(Euler number),以瑞士数学家欧拉命名;也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔(John Napier)引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i,e是数学中最重要的常数之一。

  ,其数值约为(小数点后100位):“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。

  第一次提到常数e,是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数,自然数e只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。

  已知的第一次用到常数e,是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信,以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数;而e第一次在出版物用到,是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示,但e较常用,终于成为标准。

  用e表示的确实原因不明,但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a,b,c和d有其他经常用途,而e是第一个可用字母。不过,自然数e欧拉选这个字母的原因,不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母,因为他是个很谦虚的人,总是恰当地肯定他人的工作。

  以e为底的指数函数的重要方面在于它的函数与其导数相等。e是无理数超越数(见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass))。这是第一个获证的超越数,而非故意构造的(比较刘维尔数);由夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。

  其实,超越数主要只有自然常数(e)和圆周率(π)。自然常数的知名度比圆周率低很多,原因是圆周率更容易在实际生活中遇到,而自然常数在日常生活中不常用。

  自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样,主要取决于它的来历。

  自然常数经常在公式中做对数的底。比如,对指数函数对数函数求导时,就要使用自然常数。函数

  因为e=2.7182818284... ,极为接近循环小数2.71828(1828循环),那就把循环小数化为分数271801/99990,所以可以用271801/99990表示为e最接近的有理数约率,精确度高达99.9999999(7个9)% 。

  的小数点前2000位的准确数值。此时Peano余项不够用了。我们换一个余项,例如——

  个。在a较小时,结果不太正确。但是随着a的增大,这个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理,由高斯发现。

  内的路径总数为W,哈密顿路总数为h,则W/h=e,此规律更证明了e并非故意构造的,e甚至也可以称呼为是一个

  有一定的相类似性,好像极限完全图就是图论中的圆形,哈密顿路就是直径似的,自然常数的含义是极限完全图里的路径总数和哈密顿路总数之比。

  在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m,速度为v,重力加速度为g,所受空气阻力假定与v2正比,阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。[3]

  z=C1exp(√gμ /m t)+ C2exp(-√gμ /m t)(4)

  我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此,随着时间增加,开始时小石块速度较小,小石块所受的阻力影响较小,此时,小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似,小石块加速度几乎是常数。反映在图1中,起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时,重力相对于阻力来说可以忽略,阻力快速增加到很大的数值,导致小石块的速度几乎不再增加。此时,小石块加速度接近零,v几乎不随时间而变化。一段时间后,v相不多是一平行于t轴的直线。

  一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发,在一均匀电场E中运动,E=Eez沿z轴方向,粒子的初速度沿y轴方向,试证明此粒子的轨迹为[4]

  因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 (9)

  dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 (11)

  x=(W0/qE)[√1+ sinh2(qEy/ p0c)-1 ] (14)

  cosh(x)=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… (17)

  (18)式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解,普遍会给有这个结果。这表示,非相对论确是相对论在v/c →0时的极限。自然数e或者说,(18)式成立的条件是v/c1,这也是牛顿力学的适用范围。

Copyright © 2010-2020 落花有情 版权所有  

联系QQ:1352848661